Oneindige complexiteit uit een regel¶

De Mandelbrotverzameling is het bekendste voorbeeld van een fractal: een vorm die ontstaat uit een verbluffend simpele formule, z wordt z*z + c, herhaald op elk punt van het complexe vlak. Je begint bij nul, je vult een punt c in, en je kijkt wat er gebeurt als je de stap eindeloos herhaalt. Wie begrensd blijft, hoort bij de verzameling. Wie naar oneindig vliegt, valt erbuiten.

De grens daartussen is oneindig complex. Hoe dieper je inzoomt, hoe meer nieuwe structuren verschijnen, en het houdt nooit op. Je vindt kleine kopieën van de hele vorm, verbonden door draden die zelf weer vol detail zitten. Er is geen schaal waarop de rand glad wordt. Dat een regel die op een bierviltje past zo'n oneindige rijkdom voortbrengt, blijf ik fascinerend vinden.

Het bijzondere is dat de complexiteit nergens is opgeslagen. Ze staat niet in een tabel en is door niemand ingetekend. Ze volgt uit de herhaling zelf. De formule is kort, de gevolgen zijn onuitputtelijk. Dat is een idee dat ver buiten de wiskunde reikt. Een eenvoudige regel, keer op keer toegepast, kan iets voortbrengen dat je met geen mogelijkheid uit de regel had voorspeld.

Er zit ook een grens aan die voorspelbaarheid, en dat is een deel van de charme. Je kunt naar de formule kijken zolang je wilt, en toch niet zien wat er aan de rand gebeurt. De enige manier om het te weten te komen, is het uit te rekenen, punt voor punt. Er is geen kortere weg die je de vorm voorspelt zonder het werk te doen. Dat de uitkomst zo rijk is en de bron zo klein, zonder dat je de een uit de ander kunt afleiden zonder de stappen te zetten, is precies wat de Mandelbrot voor mij fascinerend maakt.

Zelf de rand berekenen¶

Het aardige is dat je de verzameling met een paar regels code zelf kunt uittekenen. De kern is de escape-time-methode: voor elk punt tel je hoeveel stappen het duurt voordat de baan wegloopt. Loopt hij binnen een vast maximum niet weg, dan reken je het punt tot de verzameling. Het aantal stappen dat een punt buiten de rand nodig heeft om te ontsnappen, bepaalt straks zijn kleur.

def escape_count(c, max_iter=1000):
    z = 0
    for n in range(max_iter):
        z = z * z + c
        if abs(z) > 2:      # eenmaal buiten straal 2 loopt het altijd weg
            return n
    return max_iter          # nooit ontsnapt: hoort bij de verzameling

# reken een rastertje uit over het complexe vlak
for iy in range(24):
    row = ""
    for ix in range(72):
        re = -2.5 + 3.5 * ix / 72
        im = -1.25 + 2.5 * iy / 24
        n = escape_count(complex(re, im), 50)
        row += " " if n == 50 else ".:-=+*#%@"[min(n // 2, 8)]
    print(row)

Wie de code draait, ziet in de terminal een ruwe schets van de verzameling verschijnen, met de grote ronde romp links en de spitse punt die naar rechts wijst. Het is grof, want een raster van tekens is grof. Toch zit het idee er volledig in. Verhoog max_iter en verfijn het raster, en dezelfde regels tekenen de rand steeds scherper, tot in detail dat op het scherm van je scherm afvalt. De formule verandert niet. Alleen hoe nauwkeurig je hem uitrekent.

De grens bij straal 2 is niet willekeurig. Als de baan ooit verder dan 2 van de oorsprong komt, is wiskundig bewezen dat hij naar oneindig gaat. Je hoeft dus niet oneindig lang te rekenen om te weten dat een punt buiten de verzameling valt. Dat maakt de tekening haalbaar. max_iter is de enige echte concessie: punten die net binnen de rand liggen, hebben veel stappen nodig, en waar je het rekenen afkapt, bepaalt hoeveel fijn detail je nog ziet.

De natuur bouwt met herhaling¶

Wat de Mandelbrot en verwante fractals bijzonder maakt, is dat je diezelfde vorm overal in de natuur terugziet. De vertakking van een varen, de omtrek van een kustlijn, een bloemkool, de aders van een blad, de vertakking van je longen, de bliksem. Het zijn allemaal fractale patronen: een deel dat lijkt op het geheel, op elke schaal.

Benoit Mandelbrot, die de verzameling zijn naam gaf, noemde dit de meetkunde van de natuur, tegenover de gladde lijnen en bollen van de klassieke wiskunde. In zijn boek uit 1982, The Fractal Geometry of Nature, bracht hij dat idee samen. Hij had eerder al de beroemde vraag gesteld hoe lang de kust van Groot-Brittannië is. Het antwoord hangt af van de lengte van je meetlat. Meet je met een kortere lat, dan volg je meer bochten, en wordt de kust langer. Bij een echt gladde vorm loopt die lengte naar een vaste waarde. Bij een kustlijn blijft ze groeien. Dat is precies de handtekening van een fractal.

De natuur bouwt zelden met perfecte cirkels. Ze bouwt met vertakking en herhaling. Een boom die zich splitst, en elke tak die zich weer splitst, is goedkoper te beschrijven met een herhaalde regel dan met een lijst van elke twijg. De vorm is efficiënt. Misschien is dat de reden dat hij zo vaak opduikt.

Het groei-idee erachter is eenvoudig. Als een organisme één instructie kent, deel je en herhaal, dan hoeft het genoom niet elke tak apart op te slaan. Het slaat de regel op, en de vorm ontvouwt zich vanzelf tijdens de groei. Dat is dezelfde economie die je in de wiskundige fractal ziet. Weinig informatie vooraf, veel structuur achteraf. De long die zich vertakt tot een enorm oppervlak in een klein volume, lost zo een echt probleem op. Je moet veel lucht in contact brengen met veel bloed, in de ruimte van een borstkas. Een vertakkend, fractaal patroon is daar een zuinig antwoord op. De vorm is niet alleen mooi om te zien, hij doet werk.

De beelden zijn kunst¶

En dan zijn er de visuals. Een ingekleurde Mandelbrot-zoom, waar de kleur laat zien hoe snel een punt ontsnapt, is voor mij pure kunst. De spiralen, de zeepaardstaarten, de eindeloze variatie langs de rand. In de code hierboven is de kleur nog een rijtje tekens, maar het principe is hetzelfde: het ontsnappingsgetal wordt een kleur, en de rand van de verzameling wordt zichtbaar als een band van gloeiend detail.

Er bestaan veel verschillende fractals naast de Mandelbrot, elk met een eigen karakter: de Juliaverzamelingen, de Sierpinski-driehoek, de Koch-sneeuwvlok. Allemaal delen ze diezelfde combinatie. Wiskundige strengheid aan de ene kant, en aan de andere kant een schoonheid die je alleen maar kunt bekijken en bewonderen. De strengheid en de schoonheid zijn hier één ding. De vorm is mooi doordat de wiskunde streng is, en niet ondanks.

Wat ik wel en niet beweer¶

Voor de zuiverheid een woord over bewijsniveaus, want die lopen in dit onderwerp door elkaar. De wiskunde is exact. Dat de formule z*z + c de verzameling voortbrengt en dat de rand oneindig gedetailleerd is, is bewezen en na te rekenen. Dat is het hardste niveau dat er is.

Dat de natuur fractale vormen vertoont, is een afgeleide, gemeten benadering. Het is te toetsen aan echte kustlijnen en varens, en binnen een bereik van schalen klopt het. Buiten dat bereik houdt het op. En dat de beelden kunst zijn, is mijn oordeel. Dat is een mening, en die presenteer ik ook als mening. Ik houd die drie uit elkaar, want dat de wiskunde exact is, maakt mijn esthetisch oordeel niet exacter, en dat ik de beelden mooi vind, maakt de wiskunde niet minder streng.

Zie ook Een curve die getekend is door een taalmodel, Vsauce maakt van een kindervraag natuurkunde en Alice in Wonderland oogt als kinderboek tot je het voorwoord en de duiding erbij leest.